Индекс вариации и Форекс

Размерность минимального покрытия и анализ фракталов временных рядов

Сейчас фрактальный анализ широко применяется в самых разных областях физики, химии, биологии, лингвистики, музыки, изобразительного искусства и т.д. Его развитие и распространение, связано с тем, что любые достаточно сильные процессы в природе стремятся обрести самоподобие (инвариантность отно­сительно изменения масштаба), которое и называется фрактальностью. Важной характеристикой самоподобных структур является фрактальная раз­мерность (D), введенная в понятие Хаусдорфом еще в 1919 году для компактного множества в произвольном метрическом пространстве. Термин «фрактал» и все понятия с его определением были предложены Мандельбротом значительно позднее. Фрактальная размерность по Хаусдорфу выглядит так:

D= lim [lnN(δ)/ln(1/δ)] δ>0

где

N(δ) — минимальное количество шаров радиуса δ, покрывающих это мно­жество.

Чтобы понять значение этого определения, умножим обе части на ln(1/δ) и введем D под знак логарифма. В результате получим формулу вида:

(1/δ)D ~ N(δ)

 Смысл выражения в том, что для покрытия единичного отрезка, квадрата или куба его копиями размера δ, их потребуется соответственно 1/δ, 1/δ2 и 1/δ3 соответственно. Показатель степени при этом можно принимать как размерность, что и определяет формула. Если такое множество погружено в евклидово пространство (двумерное), то взамен покрытия этого множества шарами, можно взять любые его аппроксимации простыми фигурами (в том числе и клетками) с определенным геометри­ческим фактором (линейным размером) δ. При этом, вместе с исходной размерностью D (размерность сфери­ческого покрытия), появятся новые фрактальные размерности (клеточная, внутренняя и т.д.). Они будут, при δ —>0 совпадать, как правило, с исходной размерностью (D), как предельные значения. Но скорость сходимости к пределу для этих размерностей может различаться. В практике размерность определяется на основе конечного числа аппроксимаций, и правильный их выбор может иметь принципиальное значение. Для каждого конкретного случая этот выбор стает индивидуальным.

При открытии и закрытии ордеров на валютном рынке нам важно проводить анализ фрактальной геометрии графиков временных рядов, в качестве вре­менных функций. Такую геометрию имеют аппроксимации большинства наблюдаемых в природе и обществе развивающихся про­цессов.

При определении D нужно вычислять показатель Херста. Он связан с D соотношением H=2-D, применяемым для гауссовых процессов. Но для правильного вычисления H требуется очень большая репрезентативная выборка, содержащая до нескольких тысяч дан­ных ряда. В реальных процессах внутри этой выборки временной ряд может много раз изменить характер поведения. Чтобы соединить локальную динамику протекающего процесса с фрактальной размерностью временного ряда нужно определить локальную размерность D. Сделать это нужно в пределах выборки, сопоставимой с характерным масштабом основ­ных динамических состояний процесса. Для этого необходимо определить последова­тельность аппроксимаций, которая будет давать приемлемо быстрый выход функции S(δ) на асимптотический режим.

Для того, чтобы выяснить, какой может быть эта последовательность, нужно изучить некоторые модельные фракталы, напри­мер, ковер Серпинского. Соответствующие аппроксимации этой модели фрак­тала есть минимальные его покрытия. Если для этих покрытий построить функцию S(δ) в двойном логарифмическом масштабе, то получится прямая линия. Это значит, что для этого конкретного случая S(δ) переходит на асимптотиче­ский режим, начиная с максимально возможного δ. Но если построить такой же график S(δ) для других систем покрытий, то соответствующие точки уже не будут ложиться на одну прямую. Это означает, что применение минимальных покрытий может дать аналогичный результат и для фрактальных функций. Чуть позже, увидим, что для временных рядов, выражающих реальные хаотические процессы, это действительно имеет место.

Для примера возьмем финансовые временные ряды. В соответствии с правилом минимального покры­тия введем вариацию Vf(δ). Дополнительно понадобятся новые фрактальные характеристики — индекс вариации µ и размерность минимального покрытия Dµ, зависящую от µ. Принимая, что размерность Dµ совпадает с клеточной размерностью DC, получаем, что Vf(δ) для этих рядов имеет быстрый выход на асимптотику, а значит, для определения х с достаточной точностью данных временного ряда потребуется на целых два порядка меньше, чем их нужно для вычисления показателя Херста.

 Индекс вариации и размерность минимального покрытия

Рассматриваем график непрерывной вещественной функции y=f(t), определяемой на условном отрезке [a, b], и вводим равномерное разбиение отрезка

ωm = [a = t0 < t1 < … < tm = b],    δ = (b — a)/m

далее определяем минимальное покрытие функции, состоящее из прямоугольников с основанием δ.

Минимальное (черный прямоугольник) и клеточное (серый прямоугольник) покрытия функции f(t) на интервале [t i-l,t i ] , длиной δ

При этом высота прямоугольника на отрезке [ti-1,ti] равняется амплитуде Ai(δ), представляющую собой разность между максимальным и минимальным значением функ­ции на рассматриваемом отрезке.

Введем величину

Vf(δ) = Y,Ai (δ), где i=1

 Vf(δ) будет вариацией функции f(t), которая соответствует масштабу разбиения δ на отрезке [a, b]. Всю площадь минимального покрытия Sµ(δ) можно представить в виде

Sµ ( δ ) = Vf(δ)δ

 откуда следует, что

Vf(δ)~δ   при    δ->0,

при

µ = Dµ-1

 Примем показатель µ как индекс вариации, а всю размерность Dµ как размерность ми­нимального покрытия. Чтобы сопоставить Dµ с остальными размерностями и, самое главное, с клеточной размерностью DC нужно построить клеточное разбиение графика функции.

Примем Ni(δ) как число клеток, которые покрывают график внутри отрезка  [ti-1,ti]. Из этого получаем, что,

 0 < Ni(δ)δ2Ai(δ)δ < 2δ2

Разделив это выражение на δ и просуммировав по i получаем

0 < N(δ)δVf(δ) < 2(ba)

 где N(δ) = ΣNi(δ) представляет собой полное число клеток размера δ, которое полностью покрывает график функции на отрезке [a, b]. Если перейти к пределу при δ—>0, получаем, что:

N(δ)δ~Vf(δ) ~δµ = δ1D µ

 также,

N(δ)δ = Sc(δ)δ11Dc

 Из этих выражений можно сделать вывод, что Dc = Dµ. Стоить иметь ввиду, что для реальных фрактальных функ­ций минимальное и клеточное покрытие может дать при приближении к асимптотическому режиму различные величины S(δ), и это различие может быть существенным.

Применение индекса вариации в расчетах может значительно ускорить мультифрактальный анализ рынка. Для соответствующего мультифрактального спектра (размерностей Реньи), вместо расчетов вида:

Mq = ∑i (mi (δ))q

произвольно вводимой меры

mi)=mi(δ)

Можно применить в расчетах формулу вида:

Vq = ∑i (Ai(δ))q

Она имеет достаточно экономный алгоритм расчета индекса вариации, применяя который, можно выйти на быструю сходимость алгоритма расчета функции

 τ(q)

Которая определяется из условия

Vq (δ)~ δ τ(q)

Размерности Реньи

R(q)

в этом случае определяются по формуле:

Добавить комментарий